Средний

35 минут

AMM xy=k Constant Product Swap Price Impact Slippage

Требуемые знания:

01-defi-ecosystem

AMM: Автоматический маркет-мейкер

Зачем это блокчейну?

Как обменять токены без посредника и ордер-бука? Автоматический маркет-мейкер (AMM) заменяет трейдеров математической формулой. Вместо “кто-то хочет продать по этой цене” AMM говорит: “вот формула, она определяет цену”.

Одна формула — xy = k — лежит в основе большинства DEX с общим TVL более $20 миллиардов. Uniswap, SushiSwap, PancakeSwap — все они работают на вариациях этой формулы. Понимание xy = k — это ключ к пониманию всего DeFi.

В этом уроке мы разберем формулу на трех уровнях: интуитивно (аналогия с качелями), алгоритмически (пошаговый расчет) и математически (формальное доказательство).

Интуитивное объяснение: кривая xy = k

Что такое AMM Pool?

AMM Pool — это смарт-контракт, который хранит два токена и позволяет обменивать один на другой. Ключевое правило: произведение количеств двух токенов должно оставаться постоянным.

Token A — резерв x (например, ETH)
Token B — резерв y (например, USDC)
Инвариант: x * y = k (постоянное произведение)
Цена A в терминах B: price_A = y / x

Аналогия с качелями

Представьте качели: когда одна сторона опускается (больше Token A добавлено в пул), другая поднимается (Token B становится дефицитнее и дороже). AMM всегда сохраняет баланс произведения.

Если в пуле 1000 ETH и 2,000,000 USDC, то k = 2,000,000,000. При добавлении ETH пул “отдает” USDC, но k не меняется.

Кривая xy = k: постоянное произведение

Swap amount (dx):100 Token A

1250500

Резервы до

x = 1000, y = 1000

Резервы после

x = 1100, y = 909

k = x * y

1,000,000 (const)

Output (dy)

90.91 Token B

Цена до (y/x)

1.0000

Цена после

0.8264

Свойства кривой

Кривая xy = k — это гипербола. Ее ключевые свойства:

Асимптотическая: Кривая никогда не касается осей. Резервы никогда не могут стать нулевыми
Выпуклая: Большие свопы получают прогрессивно худшую цену (price impact)
Симметричная: Обмен в обе стороны работает одинаково
Бесконечная ликвидность: Пул всегда может выдать цену (пусть и плохую для больших ордеров)

Проверка знаний

Если в AMM пуле 500 ETH и 1,000,000 USDC, какова спотовая цена ETH?

Ответ

Спотовая цена = y/x = 1,000,000/500 = 2,000 USDC за ETH. Цена определяется соотношением резервов в пуле.

Пошаговый расчет свопа

Разберем конкретный пример: обмен 10 ETH на USDC в пуле с 1000 ETH и 2,000,000 USDC.

Swap: пошаговый расчет

Начальное состояние пула

Пул ETH/USDC содержит ликвидность. Текущая цена определяется соотношением резервов: 2,000,000 / 1,000 = 2,000 USDC за 1 ETH.

Reserve ETH (x)

1,000

Reserve USDC (y)

2,000,000

k = x * y

2,000,000,000

Цена ETH

2,000 USDC

Полный расчет

Пул: x = 1000 ETH, y = 2,000,000 USDC, k = 2,000,000,000.

Шаг 1: Trader отправляет dx = 10 ETH в пул.

Шаг 2: Вычитается комиссия 0.3%:

dx_effective = 10 * (1 - 0.003) = 10 * 0.997 = 9.97 ETH
fee = 10 * 0.003 = 0.03 ETH (остается в пуле)

Шаг 3: Рассчитываем новые резервы:

new_x = 1000 + 9.97 = 1009.97
new_y = k / new_x = 2,000,000,000 / 1009.97 = 1,980,258.49
dy = y - new_y = 2,000,000 - 1,980,258.49 = 19,741.51 USDC

Шаг 4: Trader получает 19,741.51 USDC.

Эффективная цена: 19,741.51 / 10 = 1,974.15 USDC/ETH (вместо спотовой 2,000).

Формула без комиссии

Выведем формулу аналитически.

Постановка

Имеем пул с резервами x и y. Инвариант: x * y = k. Trader вносит dx токенов A и получает dy токенов B.

Вывод

После свопа (без комиссии):

(x + dx) * (y - dy) = k

Раскрываем:

xy + dx*y - x*dy - dx*dy = k

Поскольку xy = k:

dx*y - x*dy - dx*dy = 0
dx*y = dy*(x + dx)

Решаем для dy:

dy = \frac{y \cdot dx}{x + dx}

Это формула выходного количества без комиссии. Заметьте: dy всегда меньше, чем dx * (y/x) — потому что знаменатель (x + dx) > x.

Формула с комиссией (0.3%)

В реальных AMM (Uniswap V2) комиссия вычитается до расчета:

dy = \frac{y \cdot dx \cdot (1 - f)}{x + dx \cdot (1 - f)}

Где f = 0.003 (0.3%).

Целочисленная арифметика

Solidity не поддерживает дробные числа. Uniswap V2 использует целочисленную формулу:

dy = y * dx * 997 / (x * 1000 + dx * 997)

Это эквивалентно:

(1 - f) = 997/1000
dy = y * (dx * 997) / (x * 1000 + dx * 997)

Пример с числами

Пул: x = 1000 ETH, y = 2,000,000 USDC. Swap: dx = 10 ETH.

dy = 2,000,000 * 10 * 997 / (1000 * 1000 + 10 * 997)
   = 2,000,000 * 9,970 / (1,000,000 + 9,970)
   = 19,940,000,000 / 1,009,970
   = 19,742.50 USDC

Разница с нашим расчетом выше (19,741.51) — погрешность округления. В Solidity используется целочисленное деление (округление вниз).

Price Impact: влияние размера сделки

Price impact — это разница между спотовой ценой и эффективной ценой сделки. Чем больше сделка относительно пула, тем хуже цена.

Price Impact: влияние размера сделки

Swap amount:10 ETH

1 ETH250 ETH500 ETH

Output

19743.16 USDC

Эффективная цена

1974.32 USDC/ETH

Спотовая цена

2000.00 USDC/ETH

Price impact

0.99% (OK)

price_impact = dx / (x + dx) = 10 / (1000 + 10) = 0.9901%

Защита от проскальзыванияУстановите amountOutMin для ограничения максимального impact. amountOutMin = 0 -- классическая уязвимость (sandwich attack).

Формула price impact

price_impact = dx / (x + dx)

Примеры

Swap size	Pool size	Price Impact
0.1 ETH	1000 ETH	0.01%
1 ETH	1000 ETH	0.1%
10 ETH	1000 ETH	0.99%
100 ETH	1000 ETH	9.09%
500 ETH	1000 ETH	33.33%

Правило: Если ваш swap > 1% от пула, price impact будет заметным. Если > 5% — значительным.

Slippage Protection

Параметр amountOutMin защищает от проскальзывания:

function swap(uint amountIn, uint amountOutMin) external {
    uint amountOut = getAmountOut(amountIn);
    require(amountOut >= amountOutMin, "Slippage exceeded");
    // ... выполнить своп
}

КРИТИЧНО: Установка amountOutMin = 0 — классическая уязвимость. Это позволяет sandwich attack: атакующий вставляет свою транзакцию до и после вашей, извлекая прибыль из вашего проскальзывания. Подробнее в Phase 7 (Security).

Проверка знаний

Почему price impact (проскальзывание) растет с размером сделки в AMM с формулой xy=k?

Ответ

Формула price_impact = dx/(x+dx): чем больше dx (размер сделки) относительно x (резервов пула), тем больше сдвигается цена. Swap 10% от пула дает ~9% price impact, а 50% от пула -- ~33%.

Комиссии и рост k

Комиссия 0.3% вычитается до расчета, но все токены остаются в пуле. Это означает, что после каждого свопа k растет:

Комиссии: как растет k

Initial

#1

#2

#3

#4

#5

k: 2,000,000,000 → 2,007,899,534 (+0.3950%)

Монотонный рост kk никогда не уменьшается. Комиссии остаются в пуле и увеличивают k. Доля LP в растущем пуле -- это заработок провайдеров ликвидности.

Механизм

Trader отправляет 10 ETH. Комиссия 0.03 ETH
Расчет ведется для dx = 9.97 ETH (после комиссии)
Но в пул добавляются все 10 ETH (включая комиссию)
Из пула изымаются dy USDC (рассчитанных для 9.97 ETH)
Результат: в пуле больше токенов, чем нужно для k

k_new = (x + 10) * (y - dy) > k_old

k_new > k_old, потому что 0.03 ETH комиссии остались в пуле.

Что это значит для LP?

Провайдеры ликвидности (LP) владеют долей пула через LP-токены. Когда k растет:

Пул содержит больше активов
Доля LP стоит больше
LP зарабатывают на каждом свопе

Это основной incentive для предоставления ликвидности. Однако LP также несут риск impermanent loss (урок DEFI-05).

Алгоритмический уровень: псевдокод AMM

# Упрощенный AMM своп (Uniswap V2 логика)

def swap(token_in: address, amount_in: uint256, amount_out_min: uint256):
    # 1. Определить направление
    (reserve_in, reserve_out) = get_reserves(token_in)

    # 2. Рассчитать output с комиссией 0.3%
    amount_in_with_fee = amount_in * 997
    numerator = reserve_out * amount_in_with_fee
    denominator = reserve_in * 1000 + amount_in_with_fee
    amount_out = numerator / denominator

    # 3. Проверить slippage
    require(amount_out >= amount_out_min, "Slippage exceeded")

    # 4. Перевести токены
    transfer(token_in, msg.sender -> pool, amount_in)
    transfer(token_out, pool -> msg.sender, amount_out)

    # 5. Обновить резервы
    update_reserves()

    # 6. Проверить k-инвариант (с комиссией k должен вырасти)
    assert new_reserve_in * new_reserve_out >= old_k

Ключевые детали

Порядок операций: Сначала перевод в пул, потом проверка инварианта
Целочисленная арифметика: Нет дробных чисел, все через умножение/деление
k-инвариант: Проверяется >=, а не ==, потому что комиссия увеличивает k

Математический уровень: формальный вывод

Константное произведение

Пусть $x, y > 0$ — резервы пула, $k = xy$ — инвариант.

Своп без комиссии

Trader вносит $\Delta x > 0$ и получает $\Delta y > 0$ :

(x + \Delta x)(y - \Delta y) = k = xy

Раскрываем:

xy + \Delta x \cdot y - x \cdot \Delta y - \Delta x \cdot \Delta y = xy

Упрощаем (xy сокращается):

\Delta x \cdot y = \Delta y(x + \Delta x)

\Delta y = \frac{y \cdot \Delta x}{x + \Delta x}

Своп с комиссией

Пусть $\gamma = 1 - f$ (для 0.3%: $\gamma = 0.997$ ). Эффективный вход:

\Delta y = \frac{y \cdot \gamma \cdot \Delta x}{x + \gamma \cdot \Delta x}

Маргинальная цена

Маргинальная цена — производная output по input:

P_{marginal} = \frac{d(\Delta y)}{d(\Delta x)} = \frac{y \cdot x}{(x + \Delta x)^2}

При $\Delta x \to 0$ : $P_{marginal} \to \frac{y}{x}$ (спотовая цена).

При $\Delta x \to \infty$ : $P_{marginal} \to 0$ (бесконечный price impact).

Price impact

\text{Price Impact} = 1 - \frac{P_{effective}}{P_{spot}} = 1 - \frac{\Delta y / \Delta x}{y / x} = \frac{\Delta x}{x + \Delta x}

Это убывающая функция x (размера пула) и возрастающая функция $\Delta x$ (размера свопа). Чем глубже пул, тем меньше impact.

Рост k от комиссий

После свопа с комиссией:

k_{new} = (x + \Delta x)(y - \Delta y)

Подставляем $\Delta y$ с комиссией:

k_{new} = (x + \Delta x) \left( y - \frac{y \cdot \gamma \cdot \Delta x}{x + \gamma \cdot \Delta x} \right)

k_{new} = (x + \Delta x) \cdot y \cdot \frac{x + \gamma \cdot \Delta x - \gamma \cdot \Delta x}{x + \gamma \cdot \Delta x}

k_{new} = \frac{(x + \Delta x) \cdot y \cdot x}{x + \gamma \cdot \Delta x}

Поскольку $\gamma < 1$ , имеем $x + \gamma \cdot \Delta x < x + \Delta x$ , следовательно:

k_{new} = \frac{(x + \Delta x)}{x + \gamma \cdot \Delta x} \cdot xy > xy = k

Q.E.D. k монотонно растет с каждым свопом, когда $f > 0$ .

Что дальше

В следующем уроке (DEFI-03) мы погрузимся в реальный код Uniswap V2:

Смарт-контракты Factory и Pair
Минтинг LP-токенов
Flash Swaps
Fork-тестирование на реальных данных Ethereum

В уроке DEFI-04 разберем революцию Uniswap V3 — концентрированная ликвидность, которая позволяет LP зарабатывать в 100-4000x больше комиссий на том же капитале. И заглянем в будущее: Uniswap V4 с hooks и singleton architecture.

Проверьте понимание

Результат: 0 из 0

Концептуальный

Автоматические маркет-мейкеры (AMM) используют on-chain ордер-бук для сопоставления заявок покупателей и продавцов, аналогично централизованным биржам.

ВерноНеверно

Закончили урок?

Отметьте его как пройденный, чтобы отслеживать свой прогресс

Войдите чтобы оценить урок